買い物に自動車で出かけたＡさんは，制限速度が時速４０Ｋｍの道を時速６０ｋｍで走っていました。 するとパトカーに制止されて，お巡りさんに注意を受けました。「この道の制限速度は時速４０ｋｍですよ。 あなたは今時速６０ｋｍで走っていましたので違反です。」 するとＡさんは「そんなはずはありません。私は家を出てまだ５分しかたっていません。」

自動車には速度計が付いていて，刻々の速度を表示しています。さて，速度というものは［移動した距離］／［かかった時間］で計算しますが，

瞬間の速度はどうやって測るのでしょうか。

上の小咄のように，１時間経って４０ｋｍ移動すれば時速４０ｋｍであることは明白ですが，ある瞬間に 時速４０ｋｍである，ということを理解するには若干の準備とそれなりの手順が必要です。ここではその手順を考えてみましょう。



上のアニメーションは，時刻ｔ＝０秒で動き出した自動車が段々速度を増し，中央辺りで時速約８０ｋｍに達してから減速を始め，時刻ｔ＝３０秒に停止する様子を 表しています。この自動車は刻々と速度を変化させて走っていますが，時刻ｔ＝１０秒における速度を求めるにはどうすればよいでしょうか。これを求めるアイデアは数学の世界では「微分」 と呼ばれており，１７・１８世紀頃ニュートンやライプニッツ等によって確立されました。

下のアニメーションをご覧下さい。時刻ｔ＝１０秒における速度を求めるには次のような手続きをします。

まず自動車の時刻ｔ＝１０秒での位置を調べます。 次に，時刻ｔ＝１０秒から少しの時間�凾舶b（例えば１秒，０．１秒・・・等）を 暫定的に設定します。 この�凾舶b間に自動車が移動した距離を�凾�（ｋｍ）とします。 ここで，速度＝［移動した距離］／［かかった時間］ですから�凾�／�凾狽ﾍ�凾舶b間の平均的な速度が算出できます。 次に，暫定的にとった�凾狽�０に近づけていくと，平均的な速度�凾�／�凾狽ﾍ，時刻ｔ＝１０での速度のよりよい近似となっていく，と考えます。 �凾狽�０に限りなく近づけると，究極的に（極限として）時刻ｔ＝１０での瞬間の速度という意味になります。

上記のような「微分」という操作をグラフ上で考えてみましょう。

自動車の位置ｘは出発点から最終点に向かって時間と共に変化していきますから，時間の関数としてｘ（ｔ）と書くことにします。
それに伴う速度ｖ（ｔ）は，時速０ｋｍから時速８０ｋｍまで変化しながら，最終点で停止します。



グラフ上で上と同様の微分という操作をしてみましょう。

ｔ＝１０から�凾舶b間の移動した距離�凾�を読み取り，�凾�／�凾狽�算出すればそれが，それが�凾舶b間の平均の速度です。 （さて，この�凾�／�凾狽ﾌグラフ上での意味は何でしょうか。これは２点ＡＢを通る直線の傾きですね。） �凾狽�限りなく０に近づけるとき，�凾�／�凾狽ｪある値に近づいていきます。それがｔ＝０での瞬間の速度です。 （Ｂ点は�凾煤ｨ０に伴ってＡ点に近づいてきますから，�凾�／�凾狽ﾍ結局Ａ点での接線の傾きという意味になります。）

まとめると，

時刻ｔ＝１０秒での瞬間の速度は，位置を表す関数のＡ点での接線の傾きを表している

ということです。

さてここまでくると，ゼノンの逆説「飛んでる矢は止まっている」の答えが見えてきたのではありませんか。

瞬間という意味は，そこでは時間の間隔は０ですが，初めから０で議論をするのではなく，暫定的な 仮想の間隔�凾狽�想定して議論し，その�凾狽�限りなく０に近づけた極限でもって瞬間を理解しています。

従って，自動車も矢も動いているものは，その瞬間において速度を持っています。

この状況を「動いている」というのか，「静止している」というのかは，言葉の定義の問題になりますから軽々しくは結論できません。しかし

極限の操作を了解した上では，瞬間においても動いている

と考えた方がよいと思います。（数学では「無限小の時間間隔に無限小の移動がある」，というような理解の仕方をすることがあります。）