２つの風が重なり合う、２つの力が合成されるなど、２つのベクトルを加えるという感覚は、直感的にわかりやすいものです。

まず幾何学的表現のベクトルについて、次のような２つのベクトルの和を考えましょう。

　単純に「和」といっても、次のような２通りの考え方ができます。

右図の左の考え方は、例えば、 　「岐阜から名古屋へ行き、さらに名古屋から東京へ行くと、 　岐阜から東京へ行ったことになる」という感覚であり、 　「継ぎ足し型」と呼ぶことにしましょう。 　また、右の考え方は、 　　「大きな石を二人で同時に引っ張ったときの合力」 　　という感覚であり、 　「合わせ型」と呼ぶことにします。 　どちらも結果（和のベクトル）は同じにあることは、 　言うまでもありません。

　次に代数学的表現のベクトルの和はどうなるでしょうか。

例えば、学級の出欠状況（欠席、遅刻）を調べたところ、 Ａ組は（２，３）であり、 Ｂ組は（４，５）であったとすると、 合わせて （２＋４，３＋５）＝（６，８）を和とすることは、 自然に納得できると思います。 つまり、各要素どうしを加える、ということです。

　さて、上記のように２つの方法で表現されたベクトルの和が、同一のものであることを確認しましょう。この場合、「継ぎ足し型」による説明がわかりやすいです。

右図のような青ベクトルと緑ベクトルの和を考えると、 継ぎ足し型で生成した和の赤ベクトルが、 要素どうしの和になっていることはすぐに分かるでしょう。

「１　ベクトルとは何か（定義について）」で見てきたように、日常的な量の多くがベクトル量であったことから、ベクトルの和も日常的な現象で大いに活躍します。ここではその事例として「力」に関するものを３つ紹介します。

�@物体の浮力 物体を水などの液体に沈めると、 物体は浮力を受けて、その重量は軽くなります。 浮力は、物体が液体から受ける力の総和です。 因みに、この力を単位面積で割った値が圧力です。 右の例では、球形の物体が液体から受ける力を 水色のベクトルで示しています。 圧力は深さに比例して大きくなるので、 液体が及ぼす力も深さに比例します。 また、この力は物体の面に垂直に作用する。 その様子を矢線ベクトルで表現しています。 水色のベクトルの総和が黄色ベクトル（浮力）です。 たくさんのベクトルの和は、 「継ぎ足し型」の和がわかりやすい。
�A低気圧の風向き 地球上の空気の流れ（風）は、 気圧の高い場所から低い場所へ流れます。 低気圧は、周囲より気圧が低いので、 その中心（赤丸）に向かって 気流（青ベクトル） が流れます。 ところが、地球上では自転の影響で、 北半球では進行方向に向かって右向きの力 （黄ベクトル）が働きます。 この力を（コリオリの力）といいます。 風向きは、 気圧の差による流れと、コリオリの力の合成 として生じ、右に振られながらも、低気圧の 中心に吹き込むので、右図（ピンクベクトル） のようになり、渦を巻くことになります。 右図の写真は、 平成１５年５月３０日の気象衛星写真であり、 台風４号を表している。 （写真は高知大学・東京大学・気象庁　提供）
�B釣り合いの位置 ３つの輪ゴムを結んで、 ３方向からそれぞれ異なる大きさと向きで引っ張 ります。 ３つの力は、大きさと向きがまちまちですので、 引っ張り方によって、結び目は移動しますが、 それらが釣り合った位置で止まります。 （右図の左写真） このとき、３つの力の和は「継ぎ足し型」で 足し合わせると、無くなりゼロベクトル（後述） となります。 あるいは「合わせ型」で言い換えると、 ２つの力の和が、もう一つの力の、 大きさは同じだが向きが逆のベクトル、 すなわち逆ベクトル（後述）となり、 釣り合います。 （右図の右は、その説明画像）

２−２　ベクトルの差

�@　５−３＝Ｘ とするとき、Ｘ とは、３にそれを加えると、５となるような数である。
　　すなわち、５＝３＋Ｘ と考えている。

�A　５−３ とは、−３という新しい数字を定義して、５＋（−３）と考える。
　　−３とは、３＋Ｘ＝０（無くなってしまう）となるような、３と対になる数

さて、下図の２つのベクトル，について、「差」−を考えていきましょう。

ベクトルの「差」についても、スカラーと同様に、２通りの考え方ができます。

�@　−＝ とするとき、 　　とは、にそれを加えると、 　　となるようなベクトルのことです。 　　すなわち、＝＋ と考えています。 　　右の青ベクトルと何を足すと、緑ベクトルとなるのかを考えて、 　　そのようなベクトル（すなわち紫ベクトル）を「差」とするのです。 �A　− とは、 　　−という新しいベクトルを定義して、 　　＋（−）という和と考えます。 　　−とは、＋＝となるような、と 　　対になるベクトルのこと。 　　このようなを、数学ではゼロベクトルと言います。 　　−は、と加えると無くなってしまうベクトルであるから、と 　　大きさが同じで向きが逆向きのベクトルとすればよいわけです。 　　数学では、これをｂの逆ベクトルと言います。

ベクトルの和差の最後として、「ベクトル演算シミュレータ（和差編）」で遊んでみましょう。

ベクトル演算シミュレータ（和差編）

２−３　ベクトルの実数倍

というわけで、

ｋ倍のは、向きは同じで大きさをｋ倍したもの、とします。ただし、ｋが負のときは 向きを反対にすることとしましょう。こうすると、「２−２　ベクトルの差」でみたように、の逆ベクトル−が−１倍のであると解釈すればよく、これも都合がよいですね。

また、ｋは整数でなくてもよく、例えばｋ＝２．５であれば、大きさが２．５倍となっているベクトルを考えればよいことになります。

このような過程をみていくと、「数学はずいぶんご都合主義！？だな」と思うことでしょう。
実は、数学は考え方や記号を拡張していくとき、法則の終始一貫性や整合性を大切にするからです。

つまり、見かけ上異なって見えるいくつかの対象物も、できる限り単純な法則で普遍的に統一的に議論できるようにしたい。そのためには、見かけ上異なるもの同じものである見なそう、という考え方に立ちます。これが数学的な精神であり美学であると、考えます。